Projections parallèles
Les projections parallèles
Les ombres
Comme les rayons du soleil viennent d’un astre très éloigné, on peut les considérer comme parallèles. C’est pourquoi, quand un objet est exposé au soleil, tous les segments joignant chacun des points de l’objet au point de son ombre sont parallèles.
Propriétés des ombres au soleil
- Si un bâton est placé dans la direction des rayons du soleil, son ombre est réduite à sa base.
- Les ombres de deux bâtons parallèles entre-eux sont parallèles entre-elles. En plus :
- Si les bâtons ont même longueur, leurs ombres ont la même longueur ;
- Si un bâton a une longueur double de l’autre, l’ombre du 1er à une longueur double de celle du 2ème.
Règle graduée et projection parallèle
Les propriétés des projections parallèles (des ombres) expliquées ci-dessus peuvent s’appliquer à la droite graduée.
| Les projections parallèles conservent les abscisses |
- Remarque importante : si les abscisses sont conservées, les longueurs des segments ont été multipliées par un même nombre qui est le rapport entre la longueur d’un segment-image et la longueur de son correspondant.
Division d’un segment en parties égales
On peut utiliser la propriété précédente pour diviser un segment en parties égales. Divise, par exemple, le segment [AB] en 7 parties égales :
- Trace une demi-droite d’origine A.
- Place sur cette demi-droite un point X.
- Reporte ce segment [AX] six fois au-delà de B.
- Appelle Y ce dernier point. Tu obtiens ainsi une graduation de [AY].
- Projette cette graduation sur [AB] parallèlement à la droite YB.
Compte tenu de la propriété énoncée ci-dessus, cette nouvelle graduation divise le segment [AB] en 7 parties égales.
Conservation du milieu
Considérons le segment [AB] et le point M, milieu de ce segment. Si on projette ce segment sur une droite d dans une direction quelconque, on obtient le segment [A’B’] où M’ (image de M) est aussi le milieu de [A’B’] :
| Toute projection parallèle conserve le milieu |
Cette propriété appliquée au cas particulier des triangles porte le nom de théorème du milieu :
| Dans un triangle, la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un autre côté passe par le milieu du troisième côté |
Factorisation : synthèse
Pour factoriser une expression algébrique, tu dois :
Tu dois d'abord essayer de mettre en évidence un maximum de facteurs communs à tous les termes de l'expression de départ.
Choisis ensuite la colonne qui correspond à ton expression :
Cette synthèse sera complétée en quatrième année par de nouvelles méthodes.
Figures isométriques
Figures superposables et isométriques
Deux figures sont superposables si, après avoir décalqué l’une, on peut la superposer à l’autre.
Si, pour obtenir la superposition, on doit retourner le calque, on dira que les deux figures sont images l’une de l’autre par un retournement.
Si, pour obtenir la superposition, il suffit de faire glisser ou/et tourner le calque sans sortir du plan de la feuille, on dira que les deux figures sont images l’une de l’autre par un déplacement.
Deux figures superposables sont dites isométriques car elles se correspondent point par point et que la distance entre deux points quelconques de l’une égale la distance entre les deux points correspondants de l’autre.
Éléments homologues
Lors de la superposition parfaite de deux figures, on appelle :
- côtés homologues, les côtés qui se superposent ;
- angles homologues, les angles qui se superposent ;
- sommets homologues, les sommets qui se superposent.
Leçons et exercices
Critères d'isométries des triangles Critères d'isométries des triangles : applications simplesFigures semblables
Figures semblables et similitude
Tout comme pour les rectangles, on dit que deux polygones sont semblables s’ils ont même forme, sans avoir nécessairement les mêmes mesures : l’un peut être un agrandissement de l’autre, avec ou sans retournement. On dit aussi qu’ils sont image l’un de l’autre par une similitude.
Lorsque deux figures sont semblables, on appelle :
- côtés homologues, les côtés qui se correspondent ;
- angles homologues, les angles qui se correspondent ;
- sommets homologues, les sommets qui se correspondent.
Deux polygones semblables ont :
- leurs angles (homologues) deux à deux de même amplitude (ce qui était évident pour les rectangles) ;
- leurs côtés sont deux à deux dans un même rapport (les côtés homologues ont des longueurs proportionnelles). Ce rapport est le rapport de similitude.
Pour une similitude de rapport « r » :
- le périmètre d’un polygone est multiplié par « r ».
- l’aire d’un polygone est multipliée par « r² ».
Si en plus, les figures semblables ont leurs côtés homologues parallèles, on dit qu’elles sont homothétiques ; image l’une de l’autre par une homothétie.
Leçons et applications
Critères de similitudes des triangles Critères de similitude des triangles : applications simples Triangles semblables : calculs de longueurs Relations métriques : première approche Le nombre d'or : la beauté mesuréeTrigonométrie
Introduction
Le mot « trigonométrie », d’origine grecque, peut être décomposé en trois parties : « tri » pour « trois », « gonon » pour angle et « métrie » pour mesure. Bien que les Babyloniens et les Egyptiens se soient occupés de la mesure des triangles, l’étude de la trigonométrie débute au IIIème siècle avant J-C dans l’école grecque d’Alexandrie et permettra de mieux comprendre les repères sur Terre et dans le ciel et développer ainsi l’astronomie et la navigation : Aristarque évalue les distances de la Lune et du Soleil à la Terre.
La trigonométrie est utile pour calculer des distances inaccessibles au moyen de mesures de longueurs et d’angles dans un triangle.