Les inéquations du premier degré

Vocabulaire et notations

Une inéquation est une inégalité (> ; < ; ≤ ; ≥) qui renferme au moins une inconnue.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité. Ces valeurs sont appelées solutions de l’inéquation.
Convention d’écriture (a et b sont des réels):

L'écriture	*signifie que*
a < b	a est *strictement plus petit* que b
a > b	a est *strictement plus grand* que b
a ≤ b	a est soit *plus petit* , soit *égal* à b
a ≥ b	a est soit *plus grand* , soit *égal* à b

✎Résolution d'inéquations→

Rappel sur les opérations de base avec fractions

Addition et soustraction

Les termes de l'addition (ou de la soustraction) ont le même dénominateur :

On additionne (ou on soustrait) les numérateurs entre-eux en conservant le même dénominateur

Exemples :

Les dénominateurs des termes de l'addition (ou de la soustraction) sont différents :

Il est nécessaire de rechercher le PPCM des dénominateurs en réduisant les fractions proposées en fractions équivalentes ayant le même dénominateur.
On procède ensuite comme pour le point précédent.

Exemple :		PPCM (4, 18) = 36

Multiplication

La multiplication des fractions se fait en multipliant les numérateurs entre-eux et les dénominateurs entre-eux:

Exemple :

NB :

Division

La division des fractions se fait en multipliant la première fraction par l'inverse de la seconde :

Deux nombres s'appellent réciproques ou inverses si leur produit est égal à 1.

L'inverse de

est

car

On obtient l'inverse d'une fraction différent de 0 en permutant le numérateur avec le dénominateur.

Exemple :

NB :

Puissance

Le repère cartésien

Repérage dans un plan : rappel des notions de première année

Repère cartésien : description

Pour repérer un point dans un plan et par la suite (les fonctions) représenter une relation entre deux variables, le système le plus souvent utilisé est le repère cartésien. Il en existe d'autres qui ne seront pas développés ici : coordonnées polaires,...

Un repère cartésien est défini par :

deux droites graduées, perpendiculaires;
leur intersection appelée origine du repère;
quatre quadrants, les quatre régions du plan que ces droites délimitent.

Axe horizontal

L'axe horizontal d'un plan cartésien se nomme l'axe des abscisses , ou l'axe des x. Cet axe gradué est orienté de la gauche vers la droite dans le plan cartésien (on y indique la valeur de la variable indépendante dans une relation entre deux variables).

Axe vertical

L'axe vertical d'un plan cartésien se nomme l'axe des ordonnées , ou l'axe des y. Cet axe gradué est orienté du bas vers le haut du plan cartésien (on y indique la valeur de la variable dépendante dans une relation entre deux variables).

L'origine du repère

L'intersection des deux droites graduées est appelée origine du repère. Elle est notée O et ses coordonnées sont (0 ; 0).

quadrants

Les quatre quadrants

Les quatre régions du plan délimitées par ces deux axes sont appelées quadrants.

Ils sont numérotés dans le sens anti-horloger.

Coordonnées d'un point

La graduation des axes du plan cartésien permet de situer des points dans un plan. La position d'un point est donnée par un couple de nombres :

le premier nombre s'appelle l'abscisse du point;
le second nombre est appelé ordonnée du point.

Ensemble, ils forment un couple de nombres appelé les coordonnées du point et noté (x ; y).

Le premier nombre du couple correspond à la position horizontale du point (sa valeur sur l'axe des x ) alors que le deuxième nombre correspond à sa position verticale (sa valeur sur l'axe des y ).

Exemple : quelles sont les coordonnées du point A dessiné ci-dessous ?

pointrepre

En partant de l'origine du repère, sur l'axe des x, il faut se déplacer de 2 unités vers la droite : l'abscisse du point A vaut "2".

reprecartsienabs

De là, il faut monter de 3 unités vers le haut, parallèlement à l'axe des y, pour atteindre le point A : l'ordonnée du point A vaut "3".

reprecartsienord

Conclusion : les coordonnées du point A sont (2 ; 3).

Pour aller plus loin

✎ Notion de fonction ↗ ✎ Notions de fonctions - Vocabulaire ↗ ✎ Graphique d'une fonction affine ↗ ✎ Image par une fonction ↗

Équations cartésiennes de la droite

Equations du premier degré à deux inconnues

1. Notions

Exemple :

Cherche deux nombres dont la somme est 12. Note les « x » et « y ».

La condition sur « x » et « y » se traduit par l’équation :

x + y = 12

Cette équation est une équation à deux inconnues. Elle possède une infinité de solutions.
Chaque solution est un couple de réels (x ; y) qui vérifient l’égalité.
Si tu places tous ces points dans un repère cartésien, tu obtiens la droite qui a pour équation : x + y – 12 = 0 (voir ci-dessous)

Voici quelques solutions :

x	y	(x ; y)
3,4	8,6	(3,4 ; 8,6)
2	10	(2 ; 10)
1	11	(1 ; 11)
0	12	(0 ; 12)
…

L’équation a.x + b.y + c = 0 est la forme générale d’une équation du premier degré à deux inconnues.

Exercices sur le site de Khan Academy - tester des couples "solutions"

Exercices sur le site de Khan Academy - recherche de "x" ou "y"

2. Liens entre équation d'une fonction du premier degré et équation cartésienne d'une droite

En partant de l’équation cartésienne d’une droite, tu peux aisément retrouver la valeur de la pente (« m ») de cette droite et son ordonnée à l’origine (« p »).

En effet, après transformations successives, tu obtiens :

b.y = -a.x - c <=> y = $quationdroiteavecfrac$ (à condition que b soit différent de « 0 »)

Par correspondance avec y = m.x + p, tu as que :

m = -a/b
p = -c/b

Remarque importante !

Cette correspondance n’est possible que si b ≠ 0.

Si b = 0, l’équation cartésienne devient :

a.x = -c (avec a ≠ 0)

Ce qui correspond à l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des « y ». Cette équation ne peut donc être en aucun cas celle d’une fonction (si d ≡ x = 2 ; « 2 » a une infinité d’image sur le graphique)

3. Conclusion :

La forme générale d’une équation cartésienne de droite pourrait aussi être :

Si « a » est différent de 0

y = m.x + p

Droites non parallèles à l’axe des « y »

Toutes les explications sur la représentation graphique d'une fonction du premier degré sont d'application pour ces droites (rôles du « m », du « p »,...).

Si « a » est égal à 0

x = k