Les équations : rappel
1. Egalités - Principes d’équivalence - Equations
1.1. Egalité
1] Le signe « = » placé entre deux expressions différentes signifie que ces deux expressions représentent le même nombre.
2] Nous appellerons « égalité » l’écriture formée par ces deux expressions et le signe = qui les unit.
ex : 16 + 4 = 17 + 3
3] Dans cette égalité, 16 + 4 représente le premier membre de l’égalité
17 + 3 représente le deuxième membre de l’égalité.
Une bonne représentation de l’égalité est la balance de Roberval équilibrée.
✎Application simples sur le site de Khan Academy› ✎Fiche d'exercice MIY›1.2. Les principes d’équivalence
1] Pour l’addition
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Si on ajoute un même nombre aux deux membres d’une égalité, on conserve une égalité. ∀a, b, c ∈ R : a = b => a + c = b + c |
2] Pour la soustraction
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Si on soustrait un même nombre aux deux membres d’une égalité, on conserve une égalité. ∀a, b, c ∈ R : a = b => a - c = b - c |
3] Pour la multiplication
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Si on multiplie les deux membres d’une égalité par un même facteur, on conserve une égalité. ∀a, b, c ∈ R : a = b => a . c = b . c |
4] Pour la division
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Si on divise les deux membres d’une égalité par un même nombre différent de zéro , on conserve une égalité. ∀a, b ∈ R ; ∀ c ∈ R0 : a = b => a : c = b : c |
1.3. Equations
- Une équation est une égalité qui renferme au moins une inconnue.
- Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifie l’égalité. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation
2. Equations du premier degre à une inconnue
2.1. Notion
Les équations que tu as rencontré en deuxième étaient toutes du premier degré, car dans chacune d’elles, le degré le plus élevé de l’inconnue (« x » le plus souvent) était 1.
Exemples :
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x + 14 = -30 |
4x + 5 = 2x+ 7 |
-27 = 3x |
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3x = 51 |
7x = 0 |
0x = -6 |
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0x = 0 |
Par contre, l’équation :
x² - 4 = 0
n’est pas du premier degré puisque « x » apparaît à la puissance 2. De même, l’équation :
(x + 2)(2x – 4) = 0
n’est pas du premier degré puisque « x » apparaît à la puissance 2 après distributivité.
2.2. Résolution
Pour résoudre de telles équations, ce que tu as déjà fait en deuxième :
- Tu transformes l’équation de départ en des équations équivalentes de plus en plus simples, en utilisant les principes d’équivalences.
- L’équation est résolue quand tu as obtenu une équation dont le premier membre est l’inconnue et le second membre un nombre (ou l’inverse).
2.3. Trois fautes « habituelles » à éviter…
- D’abord distribuer avant de réduire au même dénominateur.
- Bien TOUT mettre au même dénominateur avant de le « neutraliser »
- Faire particulièrement attention au signe « moins » qui se trouve devant une fraction dont le numérateur comporte plusieurs termes.