Réciproque de Pythagore

Réciproque du Théorème de Pythagore

La corde à 13 noeuds

La théorie

RECIPROQUE ET CONTRAPOSEE : Notion

Dans un théorème, les hypothèses reprennent les propriétés, caractéristiques,... supposées et thèse la propriété que l’on veut démontrer. Souvent, un théorème s’exprime sous forme d’implication (=>) et utilise les mots « liens » - Si... alors...

Implication simple :

Si la proposition A est vraie, alors la proposition B est aussi vraie
(proposition : A => B)

Une réciproque d’un théorème :

Une réciproque d'un théorème est un nouvel énoncé obtenu en plaçant la thèse parmi les hypothèses du nouvel énoncé et en prenant comme thèse une partie (au moins) des hypothèses du théorème initial. Une réciproque d’un théorème n’est pas toujours un énoncé vrai.
Pour l’exemple ci-dessus, la réciproque sera (!!! pas toujours vraie !!!) :

Si la proposition B est vraie, alors la proposition A est aussi vraie
(réciproque : B => A)

La contraposée d'un théorème :

La contraposée, par contre, est une autre manière d’exprimer la même propriété ; elle exprime le fait que la proposition B est une condition nécessaire à la proposition A. Si une implication est vraie, sa contraposée le sera toujours également.
Dans notre exemple ci-dessus, la contraposée s’écrira (toujours vraie si la proposition est vraie) :

Si la proposition B n’est pas vraie, alors la proposition A n’est pas vraie non plus
(contraposée : non B => non A) En L.M. : ˜B => ˜A

Exemple d’implication simple :

Proposition :

Si il pleut, alors le sol est mouillé.

Réciproque (pas toujours vraie si la proposition est vraie) :

Si le sol est mouillé, alors il pleut.

Contraposée (toujours vraie si la proposition est vraie) :

Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas.

RECIPROQUE ET CONTRAPOSEE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Réciproque du thérème de Pythagore

Si les longueurs a, b et c des trois côtés d’un triangle vérifient l’égalité

a² + b² = c²

alors le triangle est rectangle et le côté de longueur c est son hypoténuse.

Exemple :

Les 3 longueurs des côtés d’un triangle sont 3 cm, 4 cm et 5 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Comme le calcul montre que :

5² = 4² + 3²
25 = 16 + 9
25 = 25

On en déduit que ce triangle est rectangle !

Contraposée du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand des côtés n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

Exemple :

Les 3 longueurs des côtés d’un triangle sont 3 cm, 5 cm et 6 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Comme le calcul montre que :

6² ≠ 5² + 3²
36 ≠ 25 + 9
36 ≠ 34

On en déduit que ce triangle n’est pas rectangle !