Trinômes « non carrés parfaits » – Méthode des rectangles
Exercices
Explication sur un exemple concret
Et en anglais… « The Box Factoring »
Pour s'entraîner
Loi du reste – Recherche du reste de la division de P(x) par (x − a) avec une CASIO fx92-Collège
Quand on divise un polynôme P(x) par un binôme de la forme (x − a), on sait que le degré du reste est égal à « 0 » (degré du reste < degré du diviseur). En d’autres mots, le reste sera toujours un nombre.
Loi du reste
Démonstration
P(x) = D(x) · Q(x) + R(x), avec R(x) qui est un nombre. Soit r ce nombre.
Comme D(x) est du type « (x − a) », on a :
Divisibilité d’un polynôme par un binôme de la forme (x − a)
Un polynôme P(x) est divisible par un binôme de la forme (x − a)
si et seulement si
le reste de la division de P(x) par (x − a) est égal à « 0 »
si et seulement si
la valeur numérique de P(x) pour x = a est égale à « 0 », autrement dit P(a) = 0.
Division par (x − a) et factorisation
En pratique, pour déterminer un binôme (x − a) par lequel un polynôme P(x) est divisible, il suffit de calculer les valeurs numériques de ce polynôme pour les différents diviseurs de son terme indépendant. Si une de ces valeurs numériques pour « a » vaut « 0 », alors P(x) sera divisible par (x − a) et tu pourras factoriser le polynôme par la méthode des rectangles.
Ces valeurs numériques peuvent être calculées rapidement à l'aide de la calculette :
Vidéo : Valeurs numériquesExemple
Soit le polynôme P(x) = x³ + x² − 4x − 4 à factoriser.
| Application | Marche à suivre |
|---|---|
| 1] Div 4 = {±1 ; ±2 ; ±4} | Recherche des diviseurs du terme indépendant |
|
2] P(1) = 1³ + 1² − 4 · 1 − 4 = −6 ≠ 0 Donc P(x) n’est pas divisible par (x − 1). P(−1) = (−1)³ + (−1)² − 4 · (−1) − 4 = 0 Donc P(x) est divisible par (x + 1). |
▶ Vidéo : Calculs des valeurs numériques de P(x) Jusqu’à ce qu’une d’elles donne « 0 ». |
| 3] Méthode des rectangles : voir la vidéo ci-dessous. | Méthode des rectangles |